RSS

Kuartil, Rata-rata Ukur, dan Rata-rata Harmonik

29 Sep

STATISTIKA EKONOMI I

BAB V

KUARTIL,RATA-RATA UKUR DAN RATA-RATA HARMONIK

KUARTIL

Kuartil (K) adalah nilai-nilai yang membagi serangkaian data atau suatu frekuensi menjadi empat bagian yang sama.

Menurut Sudijono, 2006:112. Dalam dunia statistik, yang dimaksud dengan kuartil ialah titik atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi kedalam empat bagian yang sama besar, yaitu masing-masing sebesar 1/4N.

Dalam buku Suharyadi dan Purwanto SH, Kuartil diartikan sebagai ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data yang berkelompok menjadi 4 bagian sama besar atau setiap bagian dari kuartil sebesar 25%. Kuartil 1 (K1) membagi data sebelah kiri sebesar25% dan sebelah kanan 75%. Kuartil 2 (K2) membagi data menjadi 2 bagian yang sama yaitu sisi kanan dan sisi kiri sebesar 50%, jika kurva berbentuk simetris maka K2 sama dengan Median. K3 membagi data sebelah kiri sebesar 75% dan sebelah kanan 25%.

RUMUS

Untuk mencari Q1,Q2 dan Q3 digunakan rumus sebagai berikut:

  • untuk data tunggal

 Q­­­­­n = 1 + ( n/4N-fkb)

                     fi

  • untuk data kelompok

Qn = 1 + (n/4N-fkb)x i

                   Fi

Keterangan :

  • Qn = kuartil yang ke-n. karena titik kuartil ada tiga buah, maka n dapat diisi dengan bilangan: 1,2, dan 3.
  • 1 = lower limit ( batas bawah nyata dari skor atau interval yang mengandung Qn).
  • N= Number of cases.
  • Fkb= frekuensi kumulatif yang terletak dibawah skor atau interval yang mengandung Qn.
  • Fi= frekuensi aslinya (yaitu frekuensi dari skor atau interval yang mengandung Qn).
  • i= interval class atau kelas interval.

Catatan:

  • istilah skor berlaku untuk data tunggal.
  • istilah interval berlaku untuk data kelompok.

 

Contoh perhitungan kuartil untuk data tunggal

Misalkan dari 60 orang siswa MAN Jurusan IPA diperoleh nilai hasil EBTA bidang studi Fisika sebagaimana tertera pada table distribusi frekuensi berikut ini. Jika kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3 (artinya data tersebut akan kita bagi dalam empat bagian yang sama besar), maka proses perhitungannya adalah sebagai berikut:

Table 3.11. Distribusi frekuensi nilai hasil Ebta dalam bidang studi fisika dari 60 orang siswa MAN jurusan ipa, dan perhitungan Q1, Q2, dan Q3.

Nilai (x)

F

Fkb

46

2

60

45

2

58

44

3

56

43

5

53

42

F1 (8)

48

41

10

20

40

F1 (12)

30

39

F1 (6)

18

38

5

12

37

4

7

36

2

3

35

1

1
  • Titik Q1= 1/4N = ¼ X 60 = 15 ( terletak pada skor 39). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 38,50; fi = 6; fkb = 12

Q1= 1 + ( n/4N-fkb) = 38,50 +(15-12)

      Fi                           6

    = 38,50 +0,50

    = 39

  • Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 60 = 30 ( terletak pada skor 40). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 39,50; fi = 12; fkb = 18

Q2 = 1 + ( n/4N-fkb) = 39,50 +(30-18)

     Fi                          12

     = 39,50 +1,0

     = 40,50

  • Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 60 = 45 ( terletak pada skor 42). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 41,50; fi = 8; fkb = 40

Q3 = 1 + ( n/4N-fkb) = 41,50 +(45-40)

      Fi                          8

    = 41,50+ 0,625

    = 42,125

 Contoh perhitungan kuartil untuk data kelompok

Misalkan dari 80 orang siswa MAN jurusan IPS diperoleh skor hasil EBTA dalam bidan studi tata buku sebagaimana disajikan pada tabel distribusi frekuensi beikut ini ( lihat kolom 1 dan 2). Jika kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3, maka proses perhitungannya adalah sebagai berikut:

  • Titik Q1= 1/4N = ¼ X 80 = 20 ( terletak pada interval 35-39). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 34,50; fi = 7; fkb = 13, i= 5.

Q1 = 1 + ( n/4N-fkb)  Xi = 34,50 +(20-13)  X5

Fi                              7

    = 34,50 +5

    = 39,50

  • Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 80 = 40 ( terletak pada interval 45-49). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 44,50; fi = 17; fkb = 35, i= 5.

Q1 = 1 + ( n/4N-fkb)  Xi = 44,50 +(40-35)  X5

Fi                             17

     = 44,50 +1.47

     = 45,97

  • Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 80 = 60 ( terletak pada interval 55-59). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 54,50; fi = 7; fkb = 59, i= 5.

Q1 = 1 + ( n/4N-fkb)  Xi = 54,50 +(55-59)  X5

     Fi                                 7

    = 54,50 + 0,71

    = 55,21

Tabel 3.12. distribusi frekuensi skor-skor hasil EBTA bidang studi tata buku dari 80 orang siswa man jurusan ips, berikut perhitungan Q1,Q2, dan Q3.

Nilai (x)

F

Fkb

70-74

65-69

60-64

55-59

50-54

45-49

40-44

35-39

30-34

25-29

20-24

3

5

6

7

7

17

15

7

6

5

2

80

77

72

66

59

52

35

20

13

7

2
Total 80= N –

Diantara kegunaan kuartil adalah untuk mengetahui simetris (normal) atau a simetrisnya suatu kurva. Dalam hal ini patokan yang kita gunakan adalah sebagai berikut:

  1. Jika Q3-Q2 = Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva normal.
  2. Jika Q3-Q2 > Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kiri(juling positif).
  3. Jika Q3-Q2 < Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kanan(juling negatif).

DESIL

DESIL

Desil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data berkelompok menjadi 10 bagian yang sama besar, atau setiap bagian dari desil sebesar 10%.

Ukuran Letak

 Rumus Ukuran Letak
Data Tunggal Data Berkelompok
Desil 1 (D1) [1(n+1)]/10 1n/10
Desil 2 (D2) [2(n+1)]/10 2n/10
…. … …
Desil 9 (D9) [9(n+1)]/10 9n/10

CONTOH SOAL

Berikut ini adalah data upah dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100, (n = 13). Cari nilai D1. D2, dan D9.

PENYELESAIAN

D1 = nilai ke 1(13 + 1)

10

= nilai ke-14/10

= nilai ke-14/10, berarti X1 + 4/10(X2 – X1)

= 30 + 4/10(35 – 30)

= 32

D2 = nilai ke 2(13 + 1)

10

= nilai ke-28/10, berarti X2 + 8/10 (X3 – X2)

= 35 + 8/10 (40 – 35)

`   = 39

D9 = nilai ke 9(13 + 1)

10

= nilai ke-126/10, berarti X12 + 6/10 (X13 – X12)

= 95 + 6/10 (100 – 95)

= 98

Rumus Desil data berkelompok

Rumus Desil :

Desil

Keterangan :

  • D = desil ke-i
  • n = banyak data
  • F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil
  • f  = frekuensi kelas desil
  • b = tepi bawah kelas
  • l = lebar kelas

PRESENTIL

Presentil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data yang berkelompok menjadi 100 bagian yang sama besar, atau setiap bagian dari desil sbesar 1%.

Ukuran Letak

 Rumus Ukuran Letak
Data Tunggal Data Berkelompok
Presentil 1 (P1) [1(n+1)]/100 1n/100
Presentil 2 (P2) [2(n+1)]/100 2n/100
…. … …
Presentil 99 (D9) [99(n+1)]/100 99n/100

Apabila data sudah disusun mulai dari yang terkecil (X1) sampai yang terbesar (Xn), maka rumus persentil adalah sebagai berikut :

i(n + 1)

100

Pi = nilai yang ke , i = 1, 2, …, 99

Untuk data berkelompok

Presentil

Keterangan :

  • Pi = persentil ke-i
  • b = tepi bawah
  • n = banyaknya data
  • F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil
  • f  = frekuensi kelas persentil
  • l = lebar kelas

Contoh penggunaan rumus yang hampir sama dengan sedikit perubahan dalam rumus yang disebutkan….

Menentukan Presentil 40 dari tabel berikut.. tabel nilai siswa kelas XII IPS

presentil soal 1

Maka dapat dihasilkan sebagai berikut…

presentil soal

RATA-RATA UKUR

Rata-Rata Ukur (Geometric Mean)

Untuk gugus data positif x1, x2, …, xn, rata-rata geometrik adalah akar ke-n dari hasil perkalian unsur-unsur datanya. Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:

ratarataukurlatex.php
Keterangan:
U = rata-rata ukur (rata-rata geometrik)
n = banyaknya sampel
Π = Huruf kapital π (pi) yang menyatakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur data.
Rata-rata geometrik sering digunakan dalam bisnis dan ekonomi untuk menghitung rata-rata tingkat perubahan, rata-rata tingkat pertumbuhan, atau rasio rata-rata untuk data berurutan tetap atau hampir tetap atau untuk rata-rata kenaikan dalam bentuk persentase.

1. Rata-Rata Ukur data Tunggal

Contoh 1:
Berapakah rata-rata ukur dari data 2, 4, 8?

Jawab:

1latex.php

atau:
2latex.php

3latex.php

l4atex.php

2. Rata-Rata Ukur Distribusi Frekuensi

l5atex.php

keterangan

  • xi = tanda kelas (nilai tengah)
  • fi = frekuensi yang sesuai dengan xi

Contoh 2:
Tentukan rata-rata ukur dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!

Jawab:

Kelas ke- Nilai Ujian fi xi log xi fi.log xi
1 31 – 40 2 35.5 1.5502 3.1005
2 41 – 50 3 45.5 1.6580 4.9740
3 51 – 60 5 55.5 1.7443 8.7215
4 61 – 70 13 65.5 1.8162 23.6111
5 71 – 80 24 75.5 1.8779 45.0707
6 81 – 90 21 85.5 1.9320 40.5713
7 91 – 100 12 95.5 1.9800 23.7600
8 Jumlah 80 149.8091

l6atex.php

Rata-Rata Harmonik

Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x1, x2, …, xn adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:

harmonik1latex.php

Secara umum, rata-rata harmonik jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.

1. Rata-Rata Harmonik data Tunggal

Contoh 1:Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia mengendarai kendaraan dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi?

Jawab:Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak dan kecepatan, tentu hasilnya 13.5 km/jam!
Apabila kita gunakan perhitungan rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!

H2latex.php

Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik:

h3latex.php

2. Rata-Rata Harmonil Distribusi Frekuensi

h4latex.php

Contoh 2:
Berapa rata-rata Harmonik dari tabel distribusi frekuensi pada table berikut

Jawab:

Kelas ke- Nilai Ujian fi xi fi/xi

1

31 – 40

2

35.5

0.0563

2

41 – 50

3

45.5

0.0659

3

51 – 60

5

55.5

0.0901

4

61 – 70

13

65.5

0.1985

5

71 – 80

24

75.5

0.3179

6

81 – 90

21

85.5

0.2456

7

91 – 100

12

95.5

0.1257

8

Jumlah

80

1.1000

h5latex.php

Daftar Pustaka

Sudjana. (1991). In Statistika. Bandung: Tarsito.

Suharyadi, & Purwanto S. K. (2007). Statistika: Untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, Edisi 2. Jakarta: Penerbit Salemba Empat.

http://education4our.blogspot.com/2012/01/statistika-kuartil-desil-dan-persentil.html

http://dexaguszd.blogspot.com/2013/05/makalah-kuartildesildan-persentil.html

http://zaneta9bp2.blogspot.com/p/rata-rata-ukur-geometric-mean.html

 
Leave a comment

Posted by on September 29, 2013 in Uncategorized

 

Tags: , ,

Leave a comment